摘要  文章提出了一种分析和计算单层或多层线圈电感元件寄生电容值的方法。这种方法建立在理论分析基础上，并根据电感元件的几何结构参数和线圈的层数建立分析模型和计算公式，以预测电感元件线圈的寄生电容值。

1 引言
众所周知，电感元件的寄生电容值会直接影响其极限工作频率，所以，电感器与变压器的频率响应在高频段和低频段是不相同的。随着工作频率的提高，趋肤效应和邻近效应导致绕组的寄生阻抗增加，同时，绕组的寄生电容值更加不可忽视。为此，准确地预测电感元件工作在几百kHz以上（例如工作在开关电源中）时的频率响应，对设计高频功率电路是有积极意义的。然而，绕组的寄生电容和阻抗都是分布参数，其量值取决于频率。所以，在理论上预测电感器件的频率响应特性的讨论与分析较多地集中在绕组与磁芯的损耗方面，而单层或多层绕组的寄生电容对高频特性的影响，则多从物理方面进行理解，以此提出了一些实验数据。本文提出了一种分析计算单层或多层绕组电感元件寄生电容的方法。该方法建立在理论分析和电感元件的实物结构上，也就是根据电感元件的几何结构参数和绕组的层数来建立计算公式以预测寄生电容值。例如，电感元件的绕组常常是分成许多相同的单元，利用其中的一个单元的等效电路表达式，即可对无论是带有磁芯的还是没有磁芯的单层或多层绕组的寄生电容值进行计算，也可用作模拟试验。通过实验证明，用该方法计算得到的寄生电容值之准确度是很高的。
2 电感器、变压器的寄生电容模型
电感器和变压器绕组存在的分布寄生电容，可以通过一个连接在其绕组两端之间的电容器来模拟，图1所示为电感器的等效电路图。本文对绕组的分布寄生电容进行分析是基于图2所示的绕组结构，即用单股线均匀绕制的电感器结构模型。
电感器的总寄生电容包括如下几个部分：①同一层绕组匝与匝之间的电容；②相邻层绕组匝与匝之间的电容；③绕组每一匝对磁心及屏蔽层的电容。
图2示出了有规则地绕制的三层绕组的剖视图。图3则示出了匝与匝之间分布寄生电容的基本单元ABCD。从图2和图3可见电感线圈结构是成几何对称的，从绕组每一根导线发出的电力线完全被另外的导线包围。如果假设线圈的各部分（如匝与匝、匝与磁心、匝与屏蔽层）彼此相距很近，这就是说，将没有那一根电力线可以发出去无穷远。又因为绕组的结构是几何对称型，所以电力线肯定只在邻近的导线间均匀分布。假如只考虑两根相邻导线间的情况，则其寄生电容的微分方程式可写为：
ds=ε·ds/x                                     (1)
式中，ds为相邻两导线相对的表面面积的微分；ε=εo·εr是介质材料的介电常数；x是这两根导线对应表面之间的电力线长度。在一般情况下，长度x不是常数，但可以表述为一个给定微面的函数。为此，应选择某一个坐标系统。对于圆形导体，给定的微面可以用一个角坐标值θ表述，见图4所示。因此，ds也取决于角坐标值θ。
3 线匝间的分布寄生电容
3.1 寄生电容的基本单元结构
反映线匝与线匝之间寄生电容的基本单元ABCD如图3所示。从图中可以看到，绕组之同一层次的相邻两线匝与不同层次的相邻两线匝的寄生电容基本单元是相同的。为此，里层的绕组都可以分解为相同的基本单元，只有邻近磁芯和邻近屏蔽层的单元和线匝—线匝间的单元不相同。但是，如果采用一阶近似算法，则可以考虑将所有的寄生电容的基本单元定义为相同的。由图3可以看出，它们包含着每线匝的对应角度(=π/3)的周边部分。因此，为了得到线匝与线匝间的寄生电容，式(1)应在π/3上积分。从图2和图3所示的寄生电容单元的对称性也说明了这种关系。使用一阶近似计算时，对于没有被完全包围的导线也可以采用同样的角度。这种近似计算的方法等于忽略了边缘效应。
从图3中可以看出，寄生电容基本单元的电力线穿越三个不同的区域，即两个绝缘层和它们之间的空气隙。由此可见，相邻两线匝间的寄生电容(dc)等同于三个微电容串联，而且每个电容器都有均匀的介质材料，第一个电容器“寄生”于第一线匝的绝缘层，第二个电 容器“寄生”在空气隙，第三个电容器“寄生”在第二线匝的绝缘层。由于每匝导线表面可以近似等效为“等势面”，因此，电力线必定与导体表面正交。如果绝缘层的厚度尺寸S比导线直径的尺寸（包括绝缘层厚度）Do小得很多，则绝缘层中电力线的路径可以如图4那样作近似的处理。
计算相邻线匝间空气隙里实际的电力线路径是很麻烦的，所以按可能的短路径进行保守的近似处理是常用的做法。该短路径平行于匝间的中心线，图4画出了其中的一段，包括角坐标θ。在θ角很小时，这种近似处理很有效，对计算线匝—线匝之间的寄生电容值有很大帮助。在θ值相对较大时，近似计算法产生的误差将导致比理论计算出的寄生电容的值大一些。但是由于线匝—线匝表面之间的寄生电容值随着θ值的增加而减小，故实际计算中发生的误差可以被忽略不计。
3.2 绝缘层之间的寄生电容
图5表示一个圆柱面的单元，它示出的是导体绝缘层内表面和导体绝缘层外表面之间的那一部绝缘层的厚度。绝缘层的寄生电容的表达式由其微分方程式给出：
                              (2)
式中，r为导线半径（不含绝缘层）；rc是在线半径ro（包括导线绝缘层）上的积分，l是在零到匝长lt的积分。式(2)代入这些参数，即可得到dθ的绝缘层的寄生电容计算式：
                 (3)

通过式(3)，对应于绝缘层的每个基本单元的单位角度的寄生电容则由下式给出：
                           (4)

3.3 空气隙的寄生电容计算
根据图4的几何结构，假定电力线E的路径之长度x对于θ的函数关系由下式(5)给出：
x(θ)=Do(1-cosθ)                              (5)
导线单位长度(lt)的表面积（包括绝缘层）由下式(6)给出：
ds=(1/2·lt·Do)                            (6)
单位角度的单位寄生电容为：
               (7)

3.4 基本单元的总寄生电容
基本单元的寄生电容由式(4)和式(7)所得电容值串联组合成为下式(8)：
                    (8)

 

式中，Dc=2rc。
将式(8)积分，积分的范围为基本单元，可以求出线匝—线匝间总的寄生电容值：
       (9)

 

4 线匝与磁心间的寄生电容
计算式(9)也可用来计算线匝—磁心和线匝—屏蔽层之间的寄生电容。从图3可见，磁心中为恒电势且垂直于对称平面上；基本单元中导线间空气隙中心到磁心平面间的电力线长度是空气隙相邻两线匝之间的电力线长度的一半。线匝到磁心的基本寄生电容单元要比线匝与线匝之间的基本单元多。每一线匝的周边部分（对应角度为π/2）被包含在线匝—磁心基本单元中，这可以由图2所示看出。为了简化并用一阶近似计算，可以认为线匝—磁心的基本单元数量是与线匝—线匝的基本单元数相同的。由此可以得到计算线匝—磁心间寄生电容的表达式：
ctc=2ctt                                                                     (10)
5 求解寄生电容的简化方案
首先，我们以图6所示来表达计算式(4)、(7)、(8)，图中虚线代表式(7)，点划线代表式(4)，实线代表式(8)。由图4和图6可以看到，在θ=0时，电力线在空气隙里的长度等于零，由曲线(7)给出的相应的寄生电容接近无穷大；当θ增大时，空气隙里的电力线随其变长，寄生电容则随之变小。而由曲线(4)给出的寄生电容则在全部基本单元中保持着恒值。因此，在较小的θ时，空气隙里的寄生电容比绝缘层里的寄生电容的串联组合大得多。而在较大θ时，空气隙里的寄生电容比绝缘层中的寄生电容串联组合小得多。由式(9)给出的线匝—线匝间的寄生电容对应于图6中的曲线(8)——实线以下的区域。曲线(7)——虚线和曲线(4)——点划线相交于角θ*。这样，可以通过曲线(4)之下，θ*之右的面积与曲线(7)以下，θ*之左的面积来逼近曲线(8)之下的面积。这个近似值很保守，因为后者的面积比前者的大得多。因此，图3所示的基本单元ABCD可以被划分成三个部分：一个在中间的θ≤θ*，两边部分对应于θ*≤π/6和-π/6≤-θ*。从计算的角度考虑，可以在θ≤θ*时，用式(4)给出的绝缘层的等效寄生电容和用式(7)给出的θ*<θ≤π/6时，空气隙里的寄生电容用来代替式(8)的等效电容。后可以得到等效绝缘层中寄生电容的表达式：
                         (11)

在θ*以θ≤π/6对式(7)积分，则得到：
           (12)

角θ*对应于图6中的交点，可由式(4)与式(7)得到：
                            (13)

式中，Dc是导线（不包括绝缘层）的直径。整理得出：

                          (14)

基于单元总的寄生电容等于各个部分寄生电容的并联：
          (15)

 

式中，θ*值由式(14)算出。

6 总寄生电容
为了得到图1所示电感器等效电路的绕组寄生电容，可以采用线匝—线匝间的电容值Ctt和线匝—磁心间的电容值Ctc的计算方法；图2所示的多层线圈等效的层—层之间和层—磁心之间的电容值，可以用一个由集总参数电容器构成的网络去计算解决问题。在实际应用中，在高频范围内，线匝与线匝之间的寄生电容Ctt的并联电抗要比RLM支路的阻抗小得多。在高频状态下工作时，线匝的感抗和阻抗可以忽略不计（原因是它们处于开路状态），所以，电容网路被假设的计算全部线圈寄生电容的等效电路。在低频状态工作时，线圈的感性阻抗具有支配性影响，故这个办法是不完善的。
图7示出了一个单层线圈绕制在同一磁心上的集总电容网络。该线圈的总寄生电容值Cn可以看作由(n-1)个线匝—线匝间的电容串联的等效电容。
Cn=Ctt /(n-1)                               (16)
需要注意的是，与前述所作假设的计算相比较，式(16)计算的精度比较低。
6.1 带有磁心的单层线圈的总寄生电容计算
如图7所示的匝数为n匝的带有磁心的单层线圈的集总电容网络可以用来求解总寄生电容，n为任意数。为了简化计算线匝与铁心间的寄生电容，需要人为地把尺寸缩小，即把磁心（或屏蔽层）看作一个简单的节点，在这里可以利用线路的对称性将所有的线匝—磁心（或者线匝—屏蔽层）的电容都联起来。
对于以很多线匝构成的绕组，应首先计算中间的两匝，这时的n=2，网络由匝间电容C12和相互平行的线匝—磁心电容C1C和C2C串联组合而成。因为C1C=C2C=2Ctt，故两线匝之间的等效电容可以写为：
Cn=Ctt+2Ctt/2=2Ctt
对于匝数为奇数的线圈，则应首先计算线圈中间的三匝；关于n=3的电容网络的等效电容，可以把C2C分成两等份来计算，如图8所示，运用Δ/Y变换，其结果是Ctt/2+Ctt/2=Ctt/2+2Ctt/2=3/2Ctt。因为等效电路的对称性，这一结论也可以从观察C2C对等效电容是没有影响的情况中得到。
为了计算由4匝或5匝构成的线圈的总寄生电容，可以在2匝或3匝线圈的两边加上几匝，其总寄生电容等于前面计算的电容与几个线匝—线匝之间电容串联及几个线匝——磁心电容的并联。
当n=4时，
Cn(4)=[CttCn(2)]/[2Cn(2)+Ctt]+Ctt=7/5Ctt                           (17)
当n=5时，
Cn(5)=[CttCn(3)]/[2Cn(3)+Ctt]+Ctt=11/8Ctt                           (18)
同时在每一匝的两边加一匝或几匝，则可以计算出任意匝数线圈的寄生电容。所以，当n=n时，
                         (19)

式中，Cn(n-2)是(n-2)匝的线圈的寄生电容。从式(19)可以看到，随着线圈匝数的增加，数列Cn(n)迅速收敛，Cn≈1.366Ctt，(n≥10) (20)
6.2 不带磁心的两层线圈的总寄生电容计算
我们可以用上述类似计算方法计算两层不带磁心线圈的寄生电容。在这种计算中，假设第二层的匝数远少于第一层且绕向相反。随着匝数n的增加，可以获得连续的电容值，并迅速收敛于：
Cn≈1.618Ctt，(n≥10)                       (21)
6.3 带磁心的两层和三层线圈的总寄生电容计算
按照“6.2”中同样的假设，当线圈带有磁心时，n匝线圈的总寄生电容收敛于：
Cn≈1.83Ctt，(n≥10)                           (22)
从以上的讨论中可见，两层线圈比单层线圈存在更大的寄生电容，在高频下工作时还具有更高的阻抗，因此，两层以上的线圈不适合在高频下工作。虽然三层线圈的总寄生电容有所减小，但集总电容网络变得更复杂了。对于n>10的三层不带磁心的线圈（如图2所示），其总寄生电容值收敛于：
Cn≈0.5733Ctt                                 (23)
由式(23)可见，三层线圈的寄生电容比两层线圈的寄生电容小得多，但当层数增加，邻近效应的影响将增大，因此在高频下工作时应使用单层线圈电感器。
7 电感器寄生电容理论计算结果与实际测试值的比较
以下，我们以一种单层绕组的带磁心变压器的测试结果与理论计算值进行对照。
该变压器线圈的直径Dt=14.3mm，匝数n=95匝，而匝长lt=πDt=3.14×14.3=44.925(mm)；导线的内外径分别为Dc=0.45(mm)，Do=0.495(mm)，绝缘层厚度S=0.0225(mm)，非浸渍磁心的绝缘层的介电常数εr=3.5。
用式(14)、(15)和(20)可计算得到θ*=0.2339rad≈13.4°，Ctt=5.318PF，Ds=7.26PF，电感量L=75.1μH。由以上数据可计算得到该变压器线圈的谐振频率。
我们使用HP4194A阻抗/相位、增益分析仪对该线圈进行测量。在100kHz时，其电感量L=75.1μH；测试得到的谐振频率为fr=6.2MHz，总寄生电容值Cs=8.77PF，自谐振频率的误差为9.68%，固有寄生电容的误差是-17.2%。
以表达式(9)可以计算出Ctt：
                (24)

 

由此Ctt值可见，线匝—线匝之间的寄生电容比使用式(15)计算得出的值要小。因为式(15)是经过近似处理的，故在此前提下，其结果仍然是一致的。
8 小结
文章提出了计算和检测电感器线圈寄生电容的方法，得出了计算寄生电容的表达式；这些方法和表达式适用于对单层和多层线圈寄生电容的预测，也提出了匝数和层数对寄生电容的影响程度；随着导线绝缘层厚度的增加，寄生电容将减小。用这种方法和模型对高频工作的电感器进行设计和模拟是简单而准确的。